3 Discrete-Time Signals in the Frequency Domain Part II
有些错误无法犯两次，有些事绝对不会无趣。
章节目录
TIP
在采样理论中通常用
3-8 CT 信号的数字处理
数字处理基本流程：
关键概念：
- ADC: 模数转换器
- DAC：数模转换器
- S/H：采样保持电路 Sample-and-Hold (Circuit)
- Anti-aliasing Filter：抗混叠滤波器
- Reconstruction or Interpolation Filter：重构或插值滤波器
3-8-1 采样的频域效应
1. 理想采样与实际采样
理想采样中，采样函数
其中，
在实际采样中，完美的冲激函数是无法实现的。因此实际用于采样的函数是一连串占空比
2. 频域效应
当
接下来分别在时域和频域对处理后的信号进行分析，
我们约定
- 时域
直接对结果做FT，我们可以得到：
- 频域
，
其中
IMPORTANT
我们可以发现，通过对采样后信号的不同处理，我们得到了两种形式的频域表达式。由傅里叶变换的唯一性可以知道，这两者是等价的。
- 时域FT：
注意到这个形式与前文定义的DTFT表达式非常相似。
实际上，如果我们定义
- 频域相乘
我们可以发现对一个模拟信号进行采样，实际上就是在频域上对其进行周期化 Periodization。
即，将原始的频谱图形每隔
通过上面的分析，我们可以得出：
。
NOTE
证明二者等价：泊松求和公式
（这不是课内内容，肯定不会考，但是这个公式非常优雅）
泊松求和简介
若连续时间信号
其中
理想采样可写成
对它作连续时间傅里叶变换，可得
而根据泊松求和公式，有
这说明：
时域中的等间隔采样，会导致频域中的频谱以
因此采样后的频谱可写成
这就是课件中“time-domain discretization
可以把泊松求和公式理解为：
“采样值指数和” 与 “原频谱周期复制和” 是同一个对象的两种写法。
3-8-2 采样定理 Sampling Theorem
1. 采样定理
假设一个 CT 带限信号
即原信号带宽为
- 当
各频谱副本互不重叠，不发生混叠；
此时原信号可以被唯一确定。
- 而当
相邻副本发生重叠，产生混叠。
IMPORTANT
采样定理：一个带限连续时间信号，在采样频率足够高时，可以由它的离散样本完全恢复出来。
2. 相关术语
- 奈奎斯特条件 Nyquist Condition：
- 折叠频率 Folding Frequency：
，即在当前采样频率下最高的不会发生混叠的频率。 - 奈奎斯特速率 Nyquist Rate：
，即重建信号所需的最小采样速率。 - 奈奎斯特频率 Nyquist Frequency：在很多教材中指
，即当前采样系统的折叠频率；PPT 中若把它标为 ，则是在指原信号的最高频率 / 带宽。
WARNING
在ppt里，奈奎斯特频率被标注为原信号的带宽。但有些教材/资料中将奈奎斯特频率等价于折叠频率。
哎，这就是工科。从上学期那一堆不写底数的
秦始皇，你在哪里...
3. 过采样 / 欠采样 / 临界采样
- 过采样 Oversampling - 采样频率高于奈奎斯特速率
； - 欠采样 Undersampling - 采样频率低于奈奎斯特速率
； - 临界采样 Critical Sampling - 采样频率等于奈奎斯特速率
；
TIP
注意：纯正弦波从其临界采样版本可能无法恢复。
4.
现在，我们要将 DTFT 和采样 CTFT 联系起来。
如果令
注意到，它们唯一的区别在于复指数的指数部分不同。 存在一个明显的映射关系，如果我们令
也就是说，
NOTE
DTFT 的周期为
- 根本原因：复指数相位的周期性
DTFT 定义为
由于离散时间索引
因为对任意整数
所以
- 采样视角
也可以从采样的角度理解 DTFT 的
采样后连续时间频谱
因此，DTFT 关于
3-8-3 模拟信号的恢复 Recovery
基于采样定理，我们证明了一个连续的模拟信号可以从一个恰当的 DT 信号中完全恢复。而这个重建的过程可以被等效为通过一个滤波器
上面这三个名字指的都是同一个东西。
TIP
如果你不理解为什么这里可以等效为一个滤波器，可以这么想：
重建前的信号是一个 DT 信号，在频域上是许多个原本的 CT 信号的频谱的周期复制。如果我们用一个低通滤波器把它的基带信号滤出来，那就可以得到原始的 CT 信号了。这里的低通滤波器就是一种重构滤波器。正如你可以用许多种低通滤波器恢复，重构滤波器也不是唯一的。
重构的步骤
首先，对连续信号
这些样值可以表示成一个冲激串信号：
在频域中，采样会使原信号的频谱发生周期性重复。只要采样频率足够高，使这些频谱副本之间不重叠，就可以通过一个理想低通滤波器保留中间的原始频谱，并滤除其他重复谱。
因此，重构后的输出信号可以写为：
其中
对于理想低通重构，时域上等价于 sinc 插值，因此有：
也就是说，每一个采样值
如果采样频率不满足奈奎斯特条件，频谱会发生重叠，产生混叠，此时原信号将无法被精确重构。
3-8-4 采样混叠的过程
通过一个例子说明：不同的连续时间正弦信号，在采样后可能得到完全相同的离散时间序列。这说明采样会带来频率混叠，也说明仅凭样值序列，未必能唯一确定原来的模拟信号。
1. 采样和恢复
设三个连续时间信号分别为：
它们的 CTFT 分别为：
可以看出，这三个信号在连续时间频域中的频率位置是不同的，分别位于：
现在取采样周期
因此采样角频率为：
采样后，频谱会以
因为这里
这表示：原来的谱线会在频域中每隔
对这三个信号分别采样，可得离散时间序列：
对于
对于
又因为
而离散时间余弦满足
所以：
对于
又因为
而离散时间余弦满足
所以：
因此最终有：
这说明：
虽然
这就是混叠的本质：
连续时间中的不同频率，在采样后会折叠到同一个离散时间频率上。
2. 分析
从频域角度看，这三个信号之所以会采样后等价，是因为它们的频率满足模
也就是说，采样以后，这些频率都会映射到同一个离散频率
- 不同的连续时间正弦信号，采样后可能得到相同的离散时间序列。
- 原因是采样会让连续时间频谱按
- 离散时间频率本身是以
为周期的，因此频率相差整数倍 的离散正弦序列是等价的。 - 如果不额外假设原信号是带限的，单靠样值序列并不能唯一确定原来的连续时间信号。
- 只有当原信号满足奈奎斯特采样条件，并且重构滤波器正确选择时，才能唯一恢复原模拟信号。
3-9 带通信号的采样
3-9-1 低通与带通
在前面的章节中，采样的目标信号讨论的是低通 Low-pass 信号 / 基带 Baseband 信号。对于这一类信号，通常直接取其最高频率
但是存在着一类信号，它们与 0 频点的距离远大于其真正所占据的带宽，即
对于这一类信号，使用简单的奈奎斯特速率会造成大量的频谱浪费，因为其在很长一段低频区域没有频谱。同时采样率会非常高，造成不可忽视的资源浪费。
3-9-2 带通采样
带通采样 Bandpass Sampling 也叫 欠采样 或 中频采样 IF Sampling。
它针对的不是普通低通信号，而是频谱只分布在某一段高频带内的连续时间信号。
1. 核心思想
利用采样后频谱周期复制的性质，把高频窄带信号无混叠地折叠到较低频带的空白频段，从而用远低于
设原连续时间信号频谱为
采样后，频谱会以采样频率
其中
这表示原始频谱会被复制成很多份，并沿频率轴左右平移。
对于低通信号，如果
对于带通信号，由于原信号只占一小段频带，所以即使
所以带通采样成立的条件本质上是：采样后的各个频谱副本不能互相重叠。
TIP
虽然这里没说，但是
如果你被通信原理的那一堆单位坑过，应该就再也不会忘记了，
吧？
2. 步骤
第一步：确定原信号频带范围
先确定带通信号的频率范围为：
并计算其带宽：
第二步：选择合适的采样频率
带通采样率必须满足两个要求：
- 采样后频谱副本之间不重叠
- 采样后目标频带能够折叠到较低频区域，便于数字处理
一种把频带居中折叠到低频的常见采样率选择可写成：
也可写成关于中心频率
则
其中
同时还要满足：
因此，带通采样率通常在
附近选取，而不是在
附近选取。
第三步：对连续时间带通信号进行均匀采样
采样后得到离散时间序列：
这时，原来位于高频段的模拟信号会在离散频域中“折叠”到较低频率范围。
也就是说，采样过程本身就完成了一种频谱搬移。
第四步：观察采样后频谱的位置
采样后，高频带信号通常会被映射到较低频带，例如：
这使得后续数字处理更加容易。
因此带通采样本质上兼具两种作用：
- 减少采样率要求
- 将高频窄带信号搬移到低频进行处理
第五步：根据需要恢复原信号
如果希望恢复原始模拟带通信号，可以将采样后的冲激串信号通过一个理想带通重构滤波器，其通带为：
并设置合适增益，即可恢复原信号。
如果不恢复到原始高频，也可以直接在采样后得到的低频等效信号上进行数字处理，这在通信系统中非常常见。
3. 频谱翻转现象
一般来说：
- 若折叠到低频的方式对应某些奇数区间，频谱可能反向
- 若对应偶数区间，频谱可能不反向
因此，带通采样后不仅要关心信号是否混叠，还要关心：
- 频谱是否倒置
- 上下边带顺序是否变化
- 后续数字下变频时是否需要补偿翻转
TIP
其实没那么复杂，一个实信号的 FT 肯定是轴对称的，频谱搬移的过程实际上是同时移动正频率部分和负部分。这里的反转实际上就是负频率的部分在坐标轴上被搬到正频率了。